Question

（本题16分）已知函数，其中e是自然数的底数，，
（1）当时，解不等式；
（2）若当时，不等式恒成立，求a的取值范围；
（3）当时，试判断：是否存在整数k，使得方程在
上有解？若存在，请写出所有可能的k的值；若不存在，说明理由。

Answer 1

（1）；（2）；（3）存在唯一的整数。

因为所以，取根的中间；
即不等式恒成立，分类讨论：
且时，
数形结合：
如图：
若，
，
若，如图：

（4）方程在
上有解，需判断函数在上的单调性，数形结合。
（1） 即，由于，所以
所以解集为；
（2）当时，即不等式恒成立，
①若，则，该不等式满足在时恒成立；
②由于，
所以有两个零点，
若，则需满足   即，此时无解；
③若，则需满足，即，所以，
综上所述，a的取值范围是。
（3）方程即为，设，
由于和均为增函数，则也是增函数，
又因为，，
所以该函数的零点在区间上，又由于函数为增函数，所以该函数有且仅有
一个零点，所以方程有且仅有一个根，且在内，所以存在唯
一的整数。