Question

如图，四棱锥E—ABCD中，ABCD是矩形，平面EAB平面ABCD,AE=EB=BC=2,F为CE上的点，且BF平面ACE．

（1）求证：AEBE；

（2）求三棱锥D—AEC的体积；

（3）求二面角A—CD—E的余弦值．

Answer 1

(2)4/3  (3)

解析:

（1）证明：ABCD是矩形

BCAB

平面EAB平面ABCD，平面EAB平面ABCD=AB，BC平面ABCD

BC平面EAB      

EA平面EAB

BCEA        ……2分

BF平面ACE，EA平面ACE

 BF EA          ……3分

 BC BF=B，BC平面EBC，BF平面EBC

 EA平面EBC              

BE平面EBC

 EA BE                      ……5分

(2)  EA BE

AB=

    ……6分

设O为AB的中点，连结EO，

AE=EB=2

EOAB

平面EAB平面ABCD

EO平面ABCD，即EO为三棱锥E—ADC的高，且EO=   ……8分

      ……9分

(3)以O为原点，分别以OE、OB所在直线为，如图建立空间直角坐标系，则，

  

 ……10分

由（2）知是平面ACD的一个法向量，

设平面ECD的法向量为，则

即

令，则，所以    ……12分

设二面角A—CD—E的平面角的大小为，由图得，则

     ……13分

所以二面角A—CD—E的余弦值为     ……14分

若（1）、（2）问都用向量做，按步骤给分就可以