Question

如图，四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，EC⊥平面ABCD，AB=

2

，CE=1，G为AC与BD交点，F为EG中点，
（Ⅰ）求证：CF⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角A-BE-D的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先用BD垂直于平面ACE证出CF⊥BD，在直角三角形ECG中证明CF⊥EG，即可由线面垂直的判定定理证明CF⊥平面BDE；
（Ⅱ）本题作二面角的平面角不易作出，但图形的结构易于建立空间坐标系，故建立如图的空间坐标系，求出两个平面的法向量由数量积公式求解二面角即可

解答：解：（Ⅰ）证明：∵ABCD为正方形，AB=

2

，
∴AC=2，AC⊥BD，则CG=1=EC，
∵又F为EG中点，∴CF⊥EG．
∵EG⊥面ABCD，AC∩BD=G，BD⊥平面ECF，
∴CF⊥BDBD∩EG=G，∴CF⊥平面BDE （6分）
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系C（0，0，0），F(

2

4

，

2

4

，

1

2

)，B(0，

2

，0)[，A(

2

，

2

，0)，E（0，0，1）
由（Ⅰ）知，

CF

=(

2

4

，

2

4

，

1

2

)为平面BDE的一个法向量 （9分）
设平面ABE的法向量n=（x，y，z），
则n•

BA

=0，n•

BE

=0即

( 2 ，0，0)(x，y，z)=0 (0，- 2 ，1)(x，y，z)=0

∴x=0且z=

2

y∴n=(0，1，

2

)（11分）
从而cos＜n，

CF

＞=

n• CF

|n|•| CF |

=

3

2

∴二面角A-BE-D的大小为

π

6

．（13分）

点评：本题考查用空间向量求平面间的夹角，求解本题的关键是建立空间坐标系，将两个平面的法向量求出，用数量积公式求解即可，空间向量求二面角其优势比较明显，建 系设标用公式，思路简单便于操作，比用几何法又要作图还要证明，思维量小了很多，但同时也可以发现用向量法做题，运算量偏大．