Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S₁＞1，且
（1）求{a_n}通项公式；
（2）设数列{b_n}满足，并记T_n为{b_n}的前n项和，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S₁＞1，且，知6S_n=+3a_n+2，由此利用迭代法能求出{a_n}通项公式．
（2）由，，知，故T_n=，由此利用构造法能证明．
解答：解：（1）∵各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S₁＞1，
且，
∴6S_n=+3a_n+2，①
当n≥2时，，②
①-②，得：，
∴，
∴3（a_n+a_n-1）=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），
∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=3，n≥2，
当n=1时，，
解得a₁=1，或a₁=2，
∵S₁=a₁＞1，∴a₁=1，
∴数列{a_n}是以2为首项，以3为公差的等差数列，
∴．
（2）∵，，
∴，
∴T_n=，
∵，
∴3+1＞log₂（3n+2），
∴＞0，
令f（n）=，
则f（n+1）-f（n）＞0，
∴f（n）≥f（1）=＞1，
∴．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意迭代法和构造法的合理运用．