Question

设a，b，c∈（0，1），则a（1-b），b（1-c），c（1-a）（　　）

• A、都不大于

  1

  4

• B、都不小于

  1

  4

• C、至少有一个不大于

  1

  4

• D、至少有一个不小于

  1

  4

Answer 1

分析：先假设a（1-b），b（1-c），c（1-a）都大于

1

4

，即

a(1-b)

＞

1

2

，

b(1-c)

＞

1

2

，

c(1-c)

＞

1

2

，将三式相加，得

a(1-b)

+

b(1-c)

+

c(1-c)

＞

3

2

，又因为

a(1-b)

≤ 

a+1-b

2

，

b(1-c)

≤

b+1-c

2

，

c(1-a)

≤

c+1-a

2

，三式相加，得

a(1-b)

+

b(1-c)

+

c(1-c)

≤

3

2

得出矛盾，从而得出假设不成立，即可得到正确选项．

解答：解：假设a（1-b），b（1-c），c（1-a）都大于

1

4

即a（1-b）＞

1

4

，b（1-c）＞

1

4

，c（1-a）＞

1

4

，
∴

a(1-b)

＞

1

2

，

b(1-c)

＞

1

2

，

c(1-c)

＞

1

2

将三式相加，得

a(1-b)

+

b(1-c)

+

c(1-c)

＞

3

2

又因为

a(1-b)

≤ 

a+1-b

2

，

b(1-c)

≤

b+1-c

2

，

c(1-a)

≤

c+1-a

2

三式相加，得

a(1-b)

+

b(1-c)

+

c(1-c)

≤

3

2

所以假设不成立，
故选C．

点评：本题考查不等式的性质和应用、反证法，解题时要注意均值不等式的合理运用．