题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ x²-mln $数学公式$ +mx（m∈R）．
（1）当m=-1时，求f（x）的单调区间；
（2）当x≥0时，f（x）≥0，求实数m取值范围．

解：（1）当m=-1时，f（x）= $\text{[math]}$ x²+ln $\text{[math]}$ -x，定义域为（ $\text{[math]}$ ，+∞），f′（x）=x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
当 $\text{[math]}$ ＜x＜0或x＞ $\text{[math]}$ 时，f′（x）＞0；当0＜x＜ $\text{[math]}$ 时，f′（x）＜0，
∴f（x）的单调增区间为（ $\text{[math]}$ ，0]，[ $\text{[math]}$ ，+∞），单调减区间为[0， $\text{[math]}$ ]；（4分）
（2）f（x）= $\text{[math]}$ x²-mln $\text{[math]}$ +mx，定义域为（ $\text{[math]}$ ，+∞），f′（x）= $\text{[math]}$ ，（6分）
当m≥ $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 0，当x≥0时，f′（x）≥0，
∴f（x）在[0，+∞）是增函数，∴当x≥0时，f（x）≥f（0）=0，（8分）
当m＜ $\text{[math]}$ 时，-（m+ $\text{[math]}$ ）＞0，当0＜x＜-（m+ $\text{[math]}$ ）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在[0，-（m+ $\text{[math]}$ ）]上是减函数，
∴当0≤x≤-（m+ $\text{[math]}$ ）时，f（x）≤f（0）=0，不适合，（11分）
∴满足条件的m的取值范围为[ $\text{[math]}$ ，+∞）．（12分）
分析：（1）确定函数的定义域为（ $\text{[math]}$ ，+∞），求导函数，由导数的正负，可得函数的单调区间；
（2）确定函数的定义域为（ $\text{[math]}$ ，+∞），求导函数，分类讨论，确定函数的单调性，从而确定m的取值范围．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想，属于中档题．