题目内容
如图，已知棱锥S－ABCD，底面为正方形，SA⊥底面ABCD，AB＝AS＝a，M、N分别为AB、SC的中点．
(1)求四棱锥S－ABCD的表面积；
(2)求证：MN∥平面SAD.
[解析] (1)∵SA⊥底面ABCD，
∴SA⊥AB，SA⊥AD，SA⊥BC，
又∵BC⊥AB，∴BC⊥平面SAB，
∴BC⊥SB，同理，CD⊥SD，
∴△SAB≌△SAD，△SBC≌△SCD，
又∵SB＝
a，
∴S表面积＝2S△SAB＋2S△SBC＋SABCD
＝2×
a2＋2×a·a＋a2
＝(2＋)a2.
(2)解法一：取SD中点P，连结MN、NP、PA，如图．
则NP＝CD，且NP∥CD，
又∵AM＝CD，且AM∥CD，
∴NP＝AM，NP∥AM，∴AMNP是平行四边形，
∴MN∥AP.∵AP⊂平面SAD，MN⊄平面SAD.
∴MN∥平面SAD.
解法二：取CD中点Q，连结MQ，NQ，
∵M、N是AB、SC的中点，如图所示．
∴NQ∥SD，MQ∥AD，
∴NQ∥平面SAD，MQ∥平面SAD.
又MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面SAD，
∴MN∥平面SAD.
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