Question

已知实数a，b满足a²+b²=1（a＞0，b＞0），A（a，1），B（1，b），O为坐标原点，则△AOB的面积的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：过点A作AM⊥y轴于M，或点B作BN⊥x轴于点N，延长MA，NB交于点P．进而可推断出S_△AOB=S_OMPN-S_△OAM-S_△OBN-S_△PAB，用a，b分别表示它们的面积整理求得S_△AOB的表达式，进而利用基本不等式求得ab的范围，进而求得△AOB的面积的取值范围．

解答：解：∵a²+b²=1 且a＞0，b＞0 则0＜a＜1，0＜b＜1
过点A作AM⊥y轴于M，或点B作BN⊥x轴于点N，延长MA，NB交于点P．
则S_△AOB=S_OMPN-S_△OAM-S_△OBN-S_△PAB
=1-1•

a

2

-1

b

2

-

1

2

（1-a）（1-b）
=

1

2

-

ab

2

∵1=a²+b²≥2ab，∴ab≤

1

2

[当a=b=

2

2

2时等号成立]
又∵0＜a＜1，0＜b＜1，∴ab＞0
∴-

1

4

≤-

ab

2

＜0
∴

1

4

≤

1

2

-

ab

2

＜

1

2

即

1

4

≤S_△AOB＜

1

2

故答案为：[

1

4

，

1

2

)

点评：本题主要考查了圆与方程的综合应用．考查了学生数形结合思想的运用和基础知识的综合运用．