Question

在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2-c2=

3

ab．
（1）求角C的大小；
（2）如果0＜A≤

2π

3

，m=2cos2

A

2

-sinB-1，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由余弦定理可求，cosC=

a2+b2-c2

2ab

，结合C的范围可求C
（2）由（1）可得，A+B=

5π

6

，然后利用二倍角公式对m进行化简，然后把A，B的关系代入m，结合已知A的范围及正弦函数的性质可求m的范围

解答：解：（1）∵a2+b2-c2=

3

ab
由余弦定理可得，cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

3

2

∵0＜C＜π
∴C=

π

6

（2）由（1）可得，A+B=

5π

6

∵m=2cos2

A

2

-sinB-1=cosA-sinB
=cos(

5π

6

-B)-sinB
=cos

5π

6

cosB+sinBsin

5π

6

-sinB
=-

3

2

cosB-

1

2

sinB
=-sin(B+

1

3

π)
∵0＜A≤

2π

3

∴0＜

5π

6

-B≤

2π

3

∴

π

6

≤B＜

5π

6

∴

π

2

≤B+

π

3

＜

7π

6

∴-

1

2

＜sin(B+

1

3

π)≤1
∴-1≤m＜

1

2

点评：本题主要考查了余弦定理及和差角的三角函数、二倍角公式等在三角化简中的应用，正弦函数的性质的灵活应用是求解问题的关键