Question

已知函数f（x）=x²+（a+2）x+b满足f（-1）=-2
（1）若方程f（x）=2x有唯一的解；求实数a，b的值；
（2）若函数f（x）在区间[-2，2]上不是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据f（-1）=-2，以及方程f（x）=2x有唯一的解建立关于a与b的方程组，解之即可；
（2）根据函数f（x）在区间[-2，2]上不是单调函数，可得其对称轴在区间[-2，2]上，从而可求出a的取值范围．

解答：解：（1）∵f（-1）=-2
∴1-（a+2）+b=-2即b-a=-1   ①
∵方程f（x）=2x有唯一的解即x²+ax+b=0唯一的解
∴△=a²-4b=0    ②
由①②可得a=2，b=1
（2）由（1）可知b=a-1
∴f（x）=x²+（a+2）x+b=x²+（a+2）x+a-1
其对称轴为x=-

a+2

2

∵函数f（x）在区间[-2，2]上不是单调函数
∴-2≤-

a+2

2

≤2解得-6≤a≤2
∴实数a的取值范围为-6≤a≤2．

点评：本题主要考查了函数的单调性，以及方程解与判别式的关系，同时考查了计算能力，属于基础题．