Question

已知函数f（x）=x³+ax，g（x）=2x²+b，它们的图象在x=1处有相同的切线．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x）-mg（x）在区间[

1

2

，3]上是单调增函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意，把x=1分别代入到f（x）和g（x）中，得到的函数值相等得到关于a与b的方程，分别求出f（x）和g（x）的导函数，把x=1代入导函数中，得到的导函数值相等又得到关于a与b的另一个方程，两方程联立即可求出a与b的值；
（Ⅱ）把f（x）和g（x）的解析式代入确定出h（x）的解析式，求出h（x）导函数，由h（x）在区间上为增函数，得到导函数大于等于0列出不等式，解出m小于等于一个函数，设此函数为F（x），求出F（x）导函数等于0时x的值，根据x的值分区间讨论导函数的正负，从而得到函数的单调性，根据函数的单调性得到函数的最小值，令m小于等于求出的最小值，即可得到m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+a，g′（x）=4x，（2分）
由条件知

f(1)=g(1) f′(1)=g′(1)

，（4分）
∴

1+a=2+b 3+a=4

，
∴

a=1 b=0

（6分）
（Ⅱ）h（x）=f（x）-mg（x）=x³+x-2mx²，
∴h′（x）=3x²-4mx+1，若h（x）在区间[

1

2

，3]上为增函数，
则需h′（x）≥0，即3x²-4mx+1≥0，∴m≤

3x2+1

4x

．（9分）
令F（x）=

3x2+1

4x

，x∈[

1

2

，3]，
令F（x）=

12x2-4

16x2

=0，解得x=

3

3

，
x，F′（x）及F（x）的变化情况如下：

x	[ 1 2 ， 3 3 ）	3 3	（ 3 3 ，3]
F'（x）	-	0	+
F（x）	↓	最小值 3 2	↑

则F（x）在区间[

1

2

，3]上的最小值是F（

3

3

）=

3

2

，
因此，实数m的取值范围是m≤

3

2

．（12分）

点评：此题考查了利用导数研究曲线上过某点切线方程的斜率，以及利用导数求闭区间上函数的最值．要求学生掌握求导法则，以及不等式恒成立时满足的条件．