Question

【题目】（本小题满分12分）设各项均为正数的等比数列中，

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求证： ；

（3）是否存在正整数，使得对任意正整数均成立？若存在，求出的最大值，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）的最大值为4

【解析】

试题分析：（1）设出等比数列的公比，运用等比数列的通项公式，解得首项和公比，再由对数的运算性质即可得通项公式．

本题是求数列的前项和的范围，求和方法有很多种，本题中运用累加法求得，再由错位相减法求和，即可得证．

（3）假设存在正整数，令，判断其单调性，进而得到最小值，解不等式即可得出的取值范围．

试题解析：（1）设数列的公比为，

由题意有

，

∴．

（2），

当时，

相减整理得：

故．

（3）令

，

∴．

∴数列单调递增，

由不等式恒成立得：，

∴．

故存在正整数，使不等式恒成立，的最大值为4