Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，且PA=AD=1，AB=2，∠PAB=120°，∠PBC=90°．
（1）求证：平面PAD⊥平面PAB；
（2）求三棱锥D-PAC的体积．

Answer 1

分析：（1）由ABCD为矩形，，∠PBC=90°可证DA⊥平面PAB，再利用面面垂直的判定定理即可证得平面PAD⊥平面PAB；
（2）由V_D-PAC=V_P-DAC=V_P-ABC=V_C-PAB=

1

3

S_△PAB•BC即可求得答案．

解答：（1）证明：∵ABCD为矩形
∴AD⊥AB且AD∥BC…（1分）
∵BC⊥PB，
∴DA⊥PB且AB∩PB=B …（3分）
∴DA⊥平面PAB，
又∵DA?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面PAB…（6分）
（2）∵V_D-PAC=V_P-DAC=V_P-ABC=V_C-PAB…（8分）
由（1）知DA⊥平面PAB，且AD∥BC∴BC⊥平面PAB…（10分）
∴V_C-PAB=

1

3

S_△PAB•BC=

1

3

×

1

2

PA×ABsin∠PAB•BC=

1

6

×1×2×

3

2

×1=

3

6

…（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，考查棱锥的体积，着重考查锥体体积轮换公式的应用，突出化归思想的考查，属于中档题．