题目内容
设函数f（x）=x|x-a|+b．
（1）求证：f（x）为奇函数的充要条件是a2+b2=0．
（2）设常数b＜-1，且对任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．
（1）求证：f（x）为奇函数的充要条件是a2+b2=0．
（2）设常数b＜-1，且对任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．
分析：（1）欲证f（x）为奇函数的充要条件是a2+b2=0，须证两个方面：①充分性：若a2+b2=0⇒f（x）为奇函数，②必要性：若f（x）为奇函数⇒a2+b2=0；
（2）分类讨论：①当x=0时a取任意实数不等式恒成立；②当0＜x≤1时f（x）＜0恒成立，再转化为x+
＜a＜x-
恒成立问题，下面利用函数g（x）=x+
的最值即可求得实数a的取值范围．
（2）分类讨论：①当x=0时a取任意实数不等式恒成立；②当0＜x≤1时f（x）＜0恒成立，再转化为x+
| b |
| x |
| b |
| x |
| b |
| x |
解答：（1）证明：充分性：若a2+b2=0，则a=b=0，
∴f（x）=x|x|对任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0
∴f（x）为奇函数，故充分性成立…（2分）
必要性：若f（x）为奇函数，
则对任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0恒成立，
∴f（0）=0，解得b=0，
∴f（x）=x|x-a|，
由f（1）+f（-1）=0，即|1-a|-|a+1|=0，|1-a|=|1+a|得：a=0．
∴a2+b2=0．
故f（x）为奇函数的充要条件是a2+b2=0…（5分）
（2）解：由b＜-1＜0，当x=0时a取任意实数不等式恒成立…（6分）
当0＜x≤1时f（x）＜0恒成立，也即x+
＜a＜x-
恒成立…（8分）
令g（x）=x+
在0＜x≤1上单调递增，∴a＞g（x）max=g（1）=1+b…（10分）
令h（x）=x-
，则h（x）在（0，
]上单调递减，[
，+∞）单调递增，
当b＜-1时h（x）=x-
在0＜x≤1上单调递减，
∴a＜h（x）min=h（1）=1-b．
∴1+b＜a＜1-b…（12分）
∴f（x）=x|x|对任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0
∴f（x）为奇函数，故充分性成立…（2分）
必要性：若f（x）为奇函数，
则对任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0恒成立，
∴f（0）=0，解得b=0，
∴f（x）=x|x-a|，
由f（1）+f（-1）=0，即|1-a|-|a+1|=0，|1-a|=|1+a|得：a=0．
∴a2+b2=0．
故f（x）为奇函数的充要条件是a2+b2=0…（5分）
（2）解：由b＜-1＜0，当x=0时a取任意实数不等式恒成立…（6分）
当0＜x≤1时f（x）＜0恒成立，也即x+
| b |
| x |
| b |
| x |
令g（x）=x+
| b |
| x |
令h（x）=x-
| b |
| x |
| -b |
| -b |
当b＜-1时h（x）=x-
| b |
| x |
∴a＜h（x）min=h（1）=1-b．
∴1+b＜a＜1-b…（12分）
点评：本小题主要考查充要条件、函数奇偶性与单调性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想．属于难题．
练习册系列答案
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| A、[-5，5] | ||||||||
B、[-
| ||||||||
C、[-
| ||||||||
D、[-
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