Question

已知函数f（x）=xlnx+（a-1）x（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）当a=0时，关于x的方程f（x）=m在区间[

1

2

，3]内有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）求函数f（x）在区间[

1

e

，e]上的最小值．

Answer 1

分析：（I）根据题意得f（x）=xlnx，得曲线y=f（x）在x=1处的斜率k=f'（1）=1，再由直线方程的点斜式即可求出曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（II）当a=0时，可得f′（x）=lnx，解出当x∈[

1

2

，3]时，f′（x）＞0的解集为（1，3]且f′（x）＜0的解集为[

1

2

，1），由此列出函数的导数与单调性关系的表格，得函数的值域为[-1，-

1

2

ln2-

1

2

]．由此结合函数的图象即可得到满足条件的实数m的取值范围；
（III）求导数，得f'（x）=lnx+a，由f'（x）=0得x=e^-a．然后分a＞1、-1≤a≤1和a＜-1三种情况加以讨论，分别得到函数f（x）在区间[

1

e

，e]上的单调性，通过比较函数的极值与区间端点的值，即可得到f（x）在区间[

1

e

，e]上的最小值的三种情况，得到本题答案．

解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=lnx+1，∴k=f'（1）=1，f（1）=0，…（3分）
∴所求的切线方程为y=x-1．…（4分）
（Ⅱ） 当a=0时，f（x）=xlnx-x，f′（x）=lnx+1-1=lnx…（5分）
∴由

f′(x)＞0 1 2 ≤x≤3

?

lnx＞0 1 2 ≤x≤3

?1＜x≤3，

f′(x)＜0 1 2 ≤x≤3

?

1

2

≤x＜1，…（6分）
故可列表：

x	1 2	( 1 2 ，1)	1	（1，3）	3
y′		-	0	+
y	- 1 2 ln2- 1 2	↘	-1	↗	3ln3-3

∵-

1

2

ln2-

1

2

＜0＜3ln3-3…（9分）
∴关于x的方程f（x）=m在区间[

1

2

，3]内有两个不相等的实数根时-1＜m≤-

1

2

ln2-

1

2

；     …（10分）
（Ⅲ） f'（x）=lnx+a（x＞0），由f'（x）=0得x=e^-a．…（11分）
①当e-a＜

1

e

，即a＞1时，f'（x）＞0，f（x）在[

1

e

  ，e]上为增函数，
f(x)min=f(

1

e

)=

a-2

e

；        …（12分）
②当

1

e

≤e-a≤e，即-1≤a≤1时，在[

1

e

，e-a]上f'（x）＜0，f（x）为减函数，
在[e^-a，e]上f'（x）＞0，f（x）为增函数，f(x)min=f(e-a)=-e-a；          …（13分）
③当e^-a＞e，即a＜-1时，f'（x）＜0，f（x）在[

1

e

，e]上为减函数，f（x）_min=f（e）=ea．
综上所述，f(x)min=

a-2 e ，   a＞1 -e-a， -1≤a≤1 ea ，  a＜-1

．…（14分）

点评：本题给出含有对数的基本初等函数，讨论函数的单调性并求函数在闭区间上的最值．着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数闭区间上最值求法等知识，属于中档题．