Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁为矩形，AB=1，AA₁=

2

，D为AA₁的中点，BD与AB₁交于点O，CO⊥侧面ABB₁A₁．
（Ⅰ）证明：BC⊥AB₁；
（Ⅱ）若OC=OA，求直线C₁D与平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证明BC⊥AB₁，可证明AB₁垂直于BC所在的平面BCD，已知CO垂直于侧面ABB₁A₁，所以CO垂直于AB₁，只要在矩形ABB₁A₁内证明BD垂直于AB₁即可，可利用角的关系加以证明；
（Ⅱ）分别以OD，OB₁，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，求出

DC1

，平面ABC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．

解答：（I）证明：由题意，因为ABB₁A₁是矩形，
D为AA₁中点，AB=1，AA₁=

2

，AD=

2

2

，
所以在直角三角形ABB₁中，tan∠AB₁B=

AB

BB1

，
在直角三角形ABD中，tan∠ABD=

AD

AB1

，
所以∠AB₁B=∠ABD，
又∠BAB₁+∠AB₁B=90°，∠BAB₁+∠ABD=90°，
所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，
即BD⊥AB₁，
又因为CO⊥侧面ABB₁A₁，AB₁?侧面ABB₁A₁，
所以CO⊥AB₁
所以，AB₁⊥面BCD，
因为BC?面BCD，
所以BC⊥AB₁．
（Ⅱ）解：如图，分别以OD，OB₁，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，-

3

3

，0），B（-

6

3

，0，0），C（0，0，

3

3

），B₁（0，

2 3

3

，0），D（

6

6

，0，0），
又因为

CC1

=2

AD

，所以C1(

6

3

，

2 3

3

，

3

3

)           
所以

AB

=（-

6

3

，

3

3

，0），

AC

=（0，

3

3

，

3

3

），

DC1

=（

6

6

，

2 3

3

，

3

3

），
设平面ABC的法向量为

n

=（x，y，z），
则根据

- 6 3 x+ 3 3 y=0 3 3 y+ 3 3 z=0

可得

n

=（1，

2

，-

2

）是平面ABC的一个法向量，
设直线C₁D与平面ABC所成角为α，则sinα=

| DC1 • n |

| DC1 || n |

=

3 55

55

．

点评：本题考查了直线与平面垂直的性质，考查线面角，考查向量方法的运用，属于中档题．