题目内容
（2012•上饶一模）在△ABC中，A，B，C所对的边是a，b，c，tanC=
．
（1）若sin（B-A）=cosC，求A，C；
（2）若a=2，当sinA+sinB取最大值时，求△ABC的面积．
| sinA+sinB | cosA+cosB |
（1）若sin（B-A）=cosC，求A，C；
（2）若a=2，当sinA+sinB取最大值时，求△ABC的面积．
分析：（I）由tanC=
．得sin（C-A）=sin（B-C），故C-A=B-C，C=
，由sin（B-A）=cosC，求得sin(
-2A)=
，A=
．
（Ⅱ）令y=sinA+sinB=
sin(A+
)，故当A=
时，ymax=
，可得△ABC为等边三角形，从而求得它的面积．
| sinA+sinB |
| cosA+cosB |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 4 |
（Ⅱ）令y=sinA+sinB=
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 3 |
解答：解：（I）由tanC=
．得sin（C-A）=sin（B-C），∴C-A=B-C或C-A=π-（B-C）（不合题意，舍去），∴C=
．…（4分）
由sin（B-A）=cosC，得sin(
-2A)=
，
∴A=
．…（6分）
（Ⅱ）令y=sinA+sinB=sinA+sin(
-A)=
sin(A+
)，
∴当A=
时，ymax=
．…（9分）
∴△ABC为等边三角形，…（10分）
∴S△ABC=
•a2=
．…（12分）
| sinA+sinB |
| cosA+cosB |
| π |
| 3 |
由sin（B-A）=cosC，得sin(
| 2π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
∴A=
| π |
| 4 |
（Ⅱ）令y=sinA+sinB=sinA+sin(
| 2π |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴当A=
| π |
| 3 |
| 3 |
∴△ABC为等边三角形，…（10分）
∴S△ABC=
| ||
| 4 |
| 3 |
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角形中的几何计算，属于中档题．
练习册系列答案
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