Question

已知函数f（x）=x³-3x-1，
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．
（II）若直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，即函数f（x）=x³-3x-1的极大值和极小值分别在直线y=m两侧，构造不等式组，可得实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x³-3x-1，f′（x）=3x²-3，…（2分）
∴当x＜-1或x＞1时，f'（x）＞0，当-1＜x＜1时，f'（x）＜0，…（4分）
所以f（x）的单调增区间为（-∞，-1），（1，+∞），单调减区间为[-1，1]． …（6分）
（Ⅱ）由（1）中f（x）的单调性可知，f（x）在x=-1处取得极大值f（-1）=1，
在x=1处取得极小值f（1）=-3． …（10分）
因为直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点，
∴-3＜m＜1，即m的取值范围是（-3，1）．…（12分）

点评：本题考查了函数的单调性及根的存在性及根的个数判断．利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定函数的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．