已知m.n.l是互不重合的直线.α.β是互不重合的平面.有下列命题:①若直线l上有两个不同的点到平面α的距离相等.则l∥α,②设m.n是两条异面直线.若m?α.n∥α.l⊥m.l⊥n.则l⊥α,③若m⊥α.m⊥n.则n∥α,④若m.n是两条异面直线.且m.n都平行于平面α和平面β.则α和β相互平行,⑤若在平面α内有不共线的四点到平面β的距离相等.则α� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知m，n，l是互不重合的直线，α，β是互不重合的平面，有下列命题：
①若直线l上有两个不同的点到平面α的距离相等，则l∥α；
②设m，n是两条异面直线，若m?α，n∥α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；
③若m⊥α，m⊥n，则n∥α；
④若m，n是两条异面直线，且m，n都平行于平面α和平面β，则α和β相互平行；
⑤若在平面α内有不共线的四点到平面β的距离相等，则α∥β；
其中所有真命题的序号是

．

分析：根据点到平面距离的性质结合举反例加以说明，可得①⑤都不正确；根据线面平行的性质结合线面垂直的判定定理，可证出②是真命题；根据垂直于同一直线的平面与直线的位置关系，得到③不正确；根据面面平行的判定与性质，可证出④是真命题．由此即可得到本题的答案．

解答：解：对于①，若线段AB的中点O在平面α内时，点A、B到平面α的距离相等．
但此时直线AB与平面α相交，不能得到l∥α，故①不正确；
对于②，因为n∥α，所以经过n的平面β与α相交，设交线为k，则可得n∥k，
由l⊥n得l⊥k，结合l⊥m且m、k是平面α内的相交直线，可得l⊥α，故②是真命题；
对于③，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n?α．不一定得到n∥α，故③不正确；
对于④，因为m、n是两条异面直线，所以经过平面α、β外的一点O，
经过O引直线l∥m，k∥n，设l、k确定的平面为γ，
因为m、n都平行于平面α，所以平面γ内一组相交直线l、k都与α平行，可得γ∥α．
同理可得γ∥β，因此α∥β成立，故④是真命题；
对于⑤，设平行四边形ABCD所在的平面为α，
若平行四边形ABCD中，E、F分别为对边AB、CD的中点，当点E、F位于平面β内时，
可得平面α内A、B、C、D到平面β的距离相等，且A、B、C、D四点不共面
此时平面α、β是相交平面，不满足α∥β．故⑤不正确
综上所述，正确命题的序号为②④
故答案为：②④

点评：本题给出关于空间位置关系的几个命题，求其中的真命题．着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质，以及面面平行和面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．