题目内容

已知函数f（x）=x2-2alnx，（a＞0），令g（x）=f（x）-2ax，若g（x）有两个零点，则a的取值范围是（　　）
A、(
1
2
，+∞)
B、(
1
2
，1)
C、(-∞，
1
2
)
D、(
1
2
，1)
分析：g（x）有两个零点，x2-2ax=2alnx两侧的图象有两个交点，即y1=x2-2ax，y2=2alnx有两个交点，二次函数的对称轴是x=a且过原点，对数型函数若递减时，不能有两个交点，且对称轴越大，有两个交点．
解答：解：∵函数f（x）=x2-2alnx，（a＞0），
令g（x）=f（x）-2ax=x2-2ax-2alnx=0，
∵g（x）有两个零点
∴x2-2ax=2alnx两侧的图象有两个交点，
即y1=x2-2ax，y2=2alnx有两个交点，
二次函数的对称轴是x=a，过原点，
当对数型函数所过的与横轴的交点在二次函数与横轴交点的左边，
即1＜2a，
所以a＞
1
2

且对称轴越大，有两个交点，
故选A．
点评：本题考查函数的零点，在解题时注意对于两个函数的整理，变化成基本初等函数，可以根据选择题目的特殊性来解，即取值检验．
练习册系列答案
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精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)
（2012•深圳一模）已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

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