Question

设过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且．
（1）求点P的轨迹M的方程；
（2）过F（2，0）的直线与轨迹M交于A，B两点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由点P（x，y），点Q与点P关于y轴对称题设知Q（-x，y），设A（a，0），B（0，b），由且，知，由此能求出点P的轨迹M的方程．
（2）设过F（2，0）的直线方程为y=kx-2k，联立，得（3k²+1）x²-12k²x+12k²-3=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=（1+k²）（x₁-2）（x₂-2），利用韦达定理能求出的取值范围．
解答：解：（1）∵过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，
∴Q（-x，y），设A（a，0），B（0，b），
∵O为坐标原点，∴=（x，y-b），=（a-x，-y），=（-x，y），，
∵且，
∴，
解得点P的轨迹M的方程为．
（2）设过F（2，0）的直线方程为y=kx-2k，
联立，得（3k²+1）x²-12k²x+12k²-3=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=，x₁x₂=，
=（x₁-2，y₁），=（x₂-2，y₂），
∴=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂
=（1+k²）（x₁-2）（x₂-2）
=（1+k²）[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]
=（1+k²）（-+4）
=
=+，
∴当k²→∞的最小值→；当k=0时，的最大值为1．
∴的取值范围是（，1]．
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查向量乘积人取值范围的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理和向量知识的合理运用．