题目内容
已知A，B是椭圆
+
=1(a＞b＞0)和双曲线
-
=1(a＞0，b＞0)的公共顶点．P是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点（P、M都异于A、B），且满足
+
=λ(
+
)，其中λ∈R，设直线AP、BP、AM、BM的斜率分别记为k1，k2，k3，k4，k1+k2=5，则k3+k4=
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| AP |
| BP |
| AM |
| BM |
-5
-5
．分析：设出点P、M的坐标，代入双曲线和椭圆的方程，再利用已知满足
+
=λ(
+
)及其斜率的计算公式即可求出．
| AP |
| BP |
| AM |
| BM |
解答：解：∵A，B是椭圆
+
=1(a＞b＞0)和双曲线
-
=1(a＞0，b＞0)的公共顶点，∴（不妨设）A（-a，0），B（a，0）．
设P（x1，y1），M（x2，y2），∵
+
=λ(
+
)，其中λ∈R，∴（x1+a，y1）+（x1-a，y1）=λ[（x2+a，y2）+（x2-a，y2）]，化为x1y2=x2y1．
∵P、M都异于A、B，∴y1≠0，y2≠0．∴
=
．
由k1+k2=
+
=5，化为
=5，（*）
又∵
-
=1，∴
=
，代入（*）化为
=
．
k3+k4=
+
=
，又
+
=1，
∴
=-
，
∴k3+k4=-
×
=-
×
=-5．
故答案为-5．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
设P（x1，y1），M（x2，y2），∵
| AP |
| BP |
| AM |
| BM |
∵P、M都异于A、B，∴y1≠0，y2≠0．∴
| x1 |
| y1 |
| x2 |
| y2 |
由k1+k2=
| y1 |
| x1+a |
| y1 |
| x1-a |
| 2x1y1 |
| x12-a2 |
又∵
| x12 |
| a2 |
| y12 |
| b2 |
| x12-a2 |
| a2 |
| y12 |
| b2 |
| x1 |
| y1 |
| 5a2 |
| 2b2 |
k3+k4=
| y2 |
| x2+a |
| y2 |
| x2-a |
| 2x2y2 |
| x22-a2 |
| x22 |
| a2 |
| y22 |
| b2 |
∴
| x22-a2 |
| a2 |
| y22 |
| b2 |
∴k3+k4=-
| 2b2 |
| a2 |
| x2 |
| y2 |
| 2b2 |
| a2 |
| 5a2 |
| 2b2 |
故答案为-5．
点评：熟练掌握点在曲线上的意义、双曲线和椭圆的方程、向量的运算性质、斜率的计算公式是解题的关键，同时本题需要较强的计算能力．
练习册系列答案
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