Question

已知抛物线的方程为y²=4x，直线l过定点P（-2，1），斜率为k，若直线l与抛物线仅有一个公共点，则k=

-1或0或

1

2

．

Answer 1

分析：由题意可设直线方程为：y=k（x+2）+1，联立方程可得，

y=k(x+2)+1 y2=4x

，整理可得k²x²+（4k²+2k-4）x+4k²+4k+1=0（*）．直线与抛物线只有一个公共点?（*）没有根．k=0时，y=1符合题意；k≠0时，△=（4k²+2k-4）²-4k²（4k²+4k+1）=0．由此能求出k的值．

解答：解：由题意可设直线方程为：y=k（x+2）+1，
联立方程可得，

y=k(x+2)+1 y2=4x

，
整理可得k²x²+（4k²+2k-4）x+4k²+4k+1=0（*）
直线与抛物线只有一个公共点?（*）只有一个根
①k=0时，y=1符合题意
②k≠0时，△=（4k²+2k-4）²-4k²（4k²+4k+1）=0
整理，得2k²+k-1=0，
解得k=

1

2

或k=-1．
综上可得，k=

1

2

或k=-1或k=0．
故答案为：-1或0或

1

2

．

点评：本题考查直线和抛物线的位置关系，是中档题．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．易错点是容易忽视k=0的情况，从而造成丢解．