Question

已知抛物线C的顶点为（1，0），焦点在x轴上，若直线y=x+2交抛物线C于A、B两点，线段AB的中点坐标为（5，7），求抛物线C的方程．

Answer 1

因为抛物线交直线y=x+2所得线段的中点为（5，7），
所以抛物线为开口向右的抛物线，
又抛物线C的顶点为（1，0），焦点在x轴上，
所以设抛物线C的方程为y²=2p（x-1），焦点为（

p

2

+1，0）
直线y=x+2与抛物线C交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点．
由

y=x+2 y2=2p(x-1)

，得y²-2py+6p=0．
所以y₁+y₂=2p．
因为线段AB的中点坐标为（5，7），
所以y₁+y₂=2p=14，所以p=7．
所以抛物线C的方程为y²=14（x-1）．