Question

直线l：y=kx+1与双曲线C：2x²-y²=1的右支交于不同的两点A、B，
（Ⅰ）求实数k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x²-y²=1后，
整理得，……①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，
故，解得k的取值范围是；
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为，
则由①式得，……②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c，0），
则由FA⊥FB得：，即，
整理得，……③
把②式及代入③式化简得，
解得（舍去），
可知使得以AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点。