Question

4．求函数y=x²+|x-a|+1，（a是实数）的最小值．

Answer 1

分析 将函数化简为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+\frac{1}{2}）^{2}-a+\frac{3}{4}，x≥a}\\{（x-\frac{1}{2}）^{2}+a+\frac{3}{4}，x＜a}\end{array}\right.$，分类讨论，结合二次函数的最值，可得函数的最小值．

解答 解：f（x）=x²+|x-a|+1=$\left\{\begin{array}{l}{（x+\frac{1}{2}）^{2}-a+\frac{3}{4}，x≥a}\\{（x-\frac{1}{2}）^{2}+a+\frac{3}{4}，x＜a}\end{array}\right.$，
①当a≥$\frac{1}{2}$时，
f（x）_min=f（$\frac{1}{2}$）=a+$\frac{3}{4}$，
②当-$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{1}{2}$时，
f（x）_min=f（a）=a²+1，
③当a≤-$\frac{1}{2}$时，
f（x）_min=f（-$\frac{1}{2}$）=-a+$\frac{3}{4}$，
综上所述，
f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{a+\frac{3}{4}，a≥\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}+1，-\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{2}}\\{-a+\frac{3}{4}，a≤-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了分段函数的最小值的求法，注意运用二次函数的最值求法，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，属于中档题．