Question

（1）在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆

x=5cos? y=3sin?

（φ为参数）的右焦点且与直线

x=4-2t y=3-t

（t为参数）平行的直线的普通方程；
（2）求直线

x=1+4t y=-1-3t

（t为参数）被曲线ρ=

2

cos(θ+

π

4

)所截得的弦长．

Answer 1

分析：（1）求出椭圆

x=5cos? y=3sin?

（φ为参数）的普通方程、可得右焦点坐标，再求出直线

x=4-2t y=3-t

（t为参数）的斜率，用点斜式求得所求直线的普通方程．
（2）直线

x=1+4t y=-1-3t

（t为参数）即 3x+4y+1=0，曲线ρ=

2

cos(θ+

π

4

)即 (x-

1

2

)2+(y+

1

2

)2=

1

2

，表示圆心为C（

1

2

，-

1

2

）、半径等于

2

2

的圆，求出圆心到直线的距离，
再由弦长公式可得弦长．

解答：解：（1）椭圆

x=5cos? y=3sin?

（φ为参数）的普通方程为

x2

25

+

y2

9

=1，右焦点为F（4，0），
直线

x=4-2t y=3-t

（t为参数）的斜率等于

1

2

，故所求直线的普通方程为y-0=

1

2

（x-4），
化简可得所求直线的普通方程为x-2y-4=0．
（2）直线

x=1+4t y=-1-3t

（t为参数）即 3x+4y+1=0．
曲线ρ=

2

cos(θ+

π

4

)，即ρ²=

2

ρ （cosθcos

π

4

-sinθsin

π

4

）=ρcosθ-ρsinθ，
即 x²+y²=x-y，即 (x-

1

2

)2+(y+

1

2

)2=

1

2

，表示圆心为C（

1

2

，-

1

2

），半径等于

2

2

的圆．
圆心C到直线3x+4y+1=0 的距离d=

| 3 2 - 4 2 +1|

9+16

=

1

10

，
由弦长公式可得弦长等于2

r2 -d2

=

7

5

．

点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，直线和椭圆的位置关系，属于中档题．