Question

已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．

(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；

(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．

 

Answer 1

答案：
提示：

命题意图：本题主要考查函数的单调性及应用单调性求最值． 解题思路：(1)先确定函数的单调性，然后再求最小值． ∵当a＝时，f(x)＝x＋x＋2，对于任意的x1、x2∈[1，＋∞)，且x1<x2时,有f(x1)－f(x2)＝x1＋－(x2＋)＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)(1－)<０恒成立， ∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数． ∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝． (2)分a≥0和a<0两种情形进行讨论． 当a≥0时，f(x)恒为正； 当a<0时，f(x)是增函数，故当x＝1时，f(x)min＝3＋a当且仅当f(x)min＝3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立．故a>－3． 评点：函数的最值问题往往与函数的单调性4紧密相关．本例 (2)也可以采用如下解法： 在区间[1，＋∞)上f(x)>0恒成立，等价于x2＋2x＋a＞０恒成立，即函数y＝x2＋2x＋a的最小值大于零． ∵y＝x2＋2x＋a＝(x＝1)2＋a－1在[1，＋∞)上是增函数， ∴当x＝1时，ymin＝3＋a，当且仅当3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立． 故a>－3．