Question

已知数列{a_n}中，a₂=a+2（a为常数），S_n是{a_n}的前n项和，且S_n是na_n与na的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}是首项为1，公比为-

2

3

的等比数列，T_n是{b_n}的前n项和，问是否存在常数a，使a₁₀•T_n＜12恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由S_n是na_n与na的等差中项，我们易得2S_n=na_n+na，进一步得到2S_n-1=na_n-1+（n-1）a，由于关系式中即有S_n又有a_n故可根据a_n⁼S_n^-S_n-1，将上述公式相减得到数列的递推公式，进一步求出数列的通项公式．
（2）根据已知条件，不难写出数列{b_n}的前n项和公式T_n，结合（1）的结论，可构造出一个关于a 的不等式，解不等式，可得满足条件的a的取值范围．

解答：解：（1）由已知得：2S_n=na_n+na，
所以当n≥2时2S_n-1=（n-1）a_n-1+（n-1）a．
两式相减得：2a_n=na_n-（n-1）a_n-1+a，
整理得：（n-1）a_n-1=（n-2）a_n+a．
当n≥3时，上式可化为：

an-1

n-2

-

an

n-1

=

a

(n-2)(n-1)

=a(

1

n-2

-

1

n-1

)，
于是：(

an-1

n-2

-

an

n-1

)+(

an-2

n-3

-

an-1

n-2

)++(a2-

a3

2

)=a[(

1

n-2

-

1

n-1

)+(

1

n-3

-

1

n-2

)++(1-

1

2

)]?a2-

an

n-1

=a(1-

1

n-1

)?an=2n+a-2．
又，2a₁=a₁+a?a₁=a，a₂=a+2均满足上式，
故a_n=2n+a-2（n∈N^*）
（2）因为b1=1，q=-

2

3

，
所以Tn=

1-(- 2 3 )n

1-(- 2 3 )

=

3

5

[1-(-

2

3

)n]．
又a₁₀=a+18，所以a₁₀•T_n＜12
可化为

3

5

(a+18)[1-(-

2

3

)n]＜12，
整理得：a＜

20

1-(- 2 3 )n

-18．
令f(n)=1-(-

2

3

)n，
则当n为奇数时，1＜f(n)≤

5

3

；
当n为偶数时，

5

9

≤f(n)＜1．
所以，fmax=f(1)=

5

3

，
故a＜

20

5 3

-18=-6．
故存在常数a，使a₁₀•T_n＜12恒成立，
其范围是（-∞，-6）．

点评：本题是数列的综合应用问题，考查的知识点多而且均为难点，对于此类型的问题处理方法为：1．审题--弄清题意，分析涉及哪些数学内容，在每个数学内容中，各是什么问题.2．分解--把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等.3．求解--分别求解这些小题或这些小“步骤”，从而得到整个问题的解答