Question

如图，在等腰直角△OPQ中，∠POQ=90°，OP=2

2

，点M在线段PQ上，
（Ⅰ）若OM=

5

，求PM的长；
（Ⅱ）若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）在△OMP中，∠OPM=45°，OM=

5

，OP=2

2

，
由余弦定理可得，OM²=OP²+MP²-2×OP•MPcos45°，
解得PM的长为1或3；
（Ⅱ）设∠POM=α，0°≤α≤60°，在△OMP中，由正弦定理可得：

OM

sin∠OPM

=

OP

sin∠OMP

，
OM=

OPsin45°

sin(45°+α)

，
同理，ON=

OPsin45°

sin(75°+α)

，
故S△OMN=

1

2

OM•ONsin∠MON
=

1

4

×

OP2sin245°

sin(45°+α)sin(75°+α)

=

1

sin(45°+α)sin(45°+α+30°)

=

1

sin(45°+α)[ 3 2 sin(45°+α)+ 1 2 cos(45°+α)]

=

1

3 2 sin2(45°+α)+ 1 2 sin(45°+α)cos(45°+α)]

=

1

3 4 + 3 4 sin2α+ 1 4 cos2α

=

1

3 4 + 1 2 sin(2α+30°)

因为0°≤α≤60°，所以30°≤2α+30°≤150°，
所以当α=30°时，sin（2α+30°）的最大值为1，
此时，△OMN的面积最小，面积的最小值8-4

3

．