Question

关于x的不等式|ax+1|+a|x+1|≥3a．
（I）当a=1时，解上述不等式．
（II）当a＜0时，若上述不等式恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）把a=1代入不等式|ax+1|+a|x+1|≥3a，根据绝对值不等式的解法解不等式；
（II）当a＜0时，把不等式|ax+1|+a|x+1|≥3a等价变形为|x+1|-|x+

1

a

|≤3恒成立，根据绝对值不等式的几何意义求最值．

解答：解：（I）当a=1时，不等式|ax+1|+a|x+1|≥3a为2|x+1|≥3
∴x+1≥

3

2

或x+1≤-

3

2

解得：{x|x≤-

5

2

或x≥

1

2

}
（II）当a＜0时，不等式|ax+1|+a|x+1|≥3a?-a|x+

1

a

|+a|x+1|≥3a?|x+1|-|x+

1

a

|≤3恒成立根据绝对值的几何意义得|-1+

1

a

|≤3?1-

1

a

≤3，解得a≤-

1

2

．

点评：考查应用绝对值的几何意义求最值，体现了转化的思想，而对于含有参数的问题，增加了试题的难度，属中等题．