Question

设有两个命题，p：关于x的不等式a^x＞1（a＞0，a≠1）的解集是{x|x＜0}；q：函数y=lg（x²-x+a）的定义域为R，如果p∨q为真命题，为p∧q假命题，求实数a的范围．

Answer 1

分析：根据指数函数的图象和性质，可得x的不等式a^x＞1（a＞0，a≠1）的解集是{x|x＜0}时，实数a的范围；根据对数函数的图象和性质，及二次不等式恒成立问题，可得函数y=lg（x²-x+a）的定义域为R时，实数a的范围；再由复合命题真假判断的真值表，可得命题p、q一真一假，分类讨论后，综合讨论结果，可得答案．

解答：解：p为真命题时，不等式a^x＞1（a＞0，a≠1）的解集是{x|x＜0}；
则0＜a＜1，
q为真命题时，函数y=lg（x²-x+a）的定义域为R，
x²-x+a＞0恒成立
则△=1-4a＜0
解得a＞

1

4

（10分）
因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以命题p、q一真一假
当p真q假时，0＜a≤

1

4

当p假q真时，a≥1
综上实数a的范围为(0，

1

4

]∪[1，+∞)

点评：本题以复合命题的真假判断为载体考查了指数函数和对数函数的图象和性质，熟练掌握指数函数和对数函数的图象和性质，求出命题p、q为真时，实数a的范围，是解答的关键．