Question

等腰三角形ABC的周长为3

2

，则△ABC腰AB上的中线CD的长的最小值

1

．

Answer 1

分析：先设AB=AC=x，利用周长表示出BC=3

2

-2x．再由三角形的中线长计算公式，表示出CD关于x的解析式，最后利用二次函数的性质求出它的最小值，从而得出满足条件的CD的长的最小值即可．

解答：解：设AB=AC=x，则：BC+2x=3

2

，∴BC=3

2

-2x．
由三角形的中线长计算公式，有：
CD=

1

2

2AC2+2BC2-AB2

=

1

2

x2+2(3 2 -2x)2

=

1

2

(3x-4 2 )2+4

，
∴当3x=4

2

，即x=

4 2

3

时，y=（3x-4

2

）²+4有最小值，即CD有最小值．
此时，y=4，
∴此时，CD=

1

2

y

=

1

2

×

4

=1．
即：满足条件的CD的长的最小值为1．
故答案为：1．

点评：本小题主要考查二次函数性质的应用，考查运算求解能力，考查函数思想、化归与转化思想．属于基础题．