Question

【题目】已知函数为奇函数.

（1）求的值，并求的定义域；

（2）判断函数的单调性，不需要证明；

（3）若对于任意，是否存在实数，使得不等式恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ,定义域为,(2) 增函数,(3)

【解析】

(1)利用奇函数在定义域上恒成立,列式利用对数运算化简求解即可.

(2)直接根据对数的化简以及单调性判断即可.

(3)利用(2)中的单调性与定义域, 恒成立即

恒成立.再分,两种情况换元分析进行求解即可.

（1）∵函数为奇函数,在定义域内恒成立

即,,或（此时定义域不关于原点对称，故舍去）,故,

,函数的定义域是

（2）由（1）知,,易得在定义域是增函数.

（3）注意到,假设存在实数,

使得不等式恒成立,

即恒成立.

由（1）（2）知：即对于任意, ,即

恒成立,

当时上式成立；

当时,令,即对任意恒成立.

参变分离有,因为,故,

又函数在时单调递增,故

故.