Question

（2012•安徽模拟）设椭圆C：

x2

a2

+y2=1(a＞0)的两个焦点是F₁（-c，0）和F₂（c，0）（c＞0），且椭圆C上的点到焦点F₂的最短距离为

3

-

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M、N，线段MN垂直平分线恒过点A（0，-1），求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出设椭圆上的点P（x，y）到焦点F₂的距离d_min=a-c，利用条件即几何量的关系，即可求得椭圆的方程；
（2）由

y=kx+m x2 3 +y2=1

得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，根据直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M、N，可得m²＜3k²+1①，根据线段MN垂直平分线恒过点A（0，-1），可得2m=3k²+1（k≠0）②，由①②，即可求得实数m的取值范围．

解答：解：（1）设椭圆上的点P（x，y）到焦点F₂的距离为d
∴d2=(x-c)2+y2=

c2

a2

(x-

a2

c

)2(-a≤x≤a)
∵

a2

c

＞a
∴x=a时，d_min=a-c
∴

a-c= 3 - 2 a2-c2=1

，∴

a= 3 c= 2

，∴b=1
∴椭圆的方程为

x2

3

+y2=1；
（2）由

y=kx+m x2 3 +y2=1

得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0
∵直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M、N，
∴△＞0，∴m²＜3k²+1①
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∴x₁+x₂=-

6mk

3k2+1

∴MN的中点为B（-

3mk

3k2+1

，

m

3k2+1

）．
∵线段MN垂直平分线恒过点A（0，-1），
∴AQ⊥MN
∴-

m+3k2+1

3mk

=-

1

k

∴2m=3k²+1（k≠0）②
由①②得m²＜2m，∴0＜m＜2
由②得m＞

1

2

∴实数m的取值范围是(

1

2

，2)．

点评：本题以椭圆的几何性质为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程组是关键．