Question

已知线段AB⊥平面α,BCα,CD⊥BC,且CD与平面α成30°角，D与A在α的同侧，若AB=BC=CD=2，求AD的长.

Answer 1

解析：∵=++,?

∴||²=·=(++)·(++)=||²+||²+||²+

·+2·+2·.①?

∵===2,

∴||=||=||=2.②?

又∵AB⊥α,α,

∴⊥.∴·=0.③?

CD⊥BC,∴·=0.④?

把②③④代入①可得?

||²=4+4+4+2·=12+2·||·||cos〈,〉=12+8·cos〈,〉.⑤

如右图所示，过D作DF⊥α于F，连结，则∠DCF为直线与α所成的角.?

∴∠DCF=30°.

从而∠CDF=60°.

又∵⊥α,DF⊥α,∴AB∥DF.?

∴〈,〉=〈,〉=60°.

∴〈,〉=120°代入⑤式得到

||²=12+8cos120°=12-4=8.

∴||=2.从而=2.