Question

函数f(x)=

2x4+ax3+4x2+bx+6

x4+2x2+3

最大值与最小值之和为

4

．

Answer 1

分析：构造函数g(x)=f(x)-2=

ax3+bx

x4+2x2+3

，可判断g（x）为奇函数，利用奇函数图象的性质即可求出答案．

解答：解：∵f(x)=

2(x4+2x2+3)+(ax3+bx)

x4+2x2+3

=2+

ax3+bx

x4+2x2+3

，
∴令g(x)=f(x)-2=

ax3+bx

x4+2x2+3

，
∵g（-x）=

a(-x)3+b(-x)

(-x)4+2(-x)2+3

=-

ax3+bx

x4+2x2+3

=-g（x），
∴函数g（x）为奇函数，
令g_max（x）=f_max（x）-2=M，
∴f_max（x）=M+2，
根据奇函数的性质可知，g_min（x）=f_min（x）-2=-M，
∴f_min（x）=-M+2，
∴f_max（x）+f_min（x）=（M+2）+（-M+2）=4，
∴函数f(x)=

2x4+ax3+4x2+bx+6

x4+2x2+3

最大值与最小值之和为4．
故答案为：4．

点评：本题主要考查奇函数图象的性质、函数的最值及分析问题解决问题的能力，解决本题的关键是恰当构造奇函数．属于中档题．