Question

已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1，0)的距离减去它到y轴距离的差都是1，
(Ⅰ)求曲线C的方程；
(Ⅱ)是否存在正数m，对于过点M(m，0)且与曲线C有两个交点A、B的任一直线，都有？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)设P(x，y)是曲线C上任意一点，
那么点P(x，y)满足，
化简得y²=4x(x＞0)．
(Ⅱ)设过点M(m，0)(m＞0)的直线l与曲线C的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
设l的方程为x=ty+m，
由，得，
，于是，①
又，
，②
又，
于是不等式②等价于
，③
由①式，不等式③等价于m²-6m+1＜4t²， ④
对任意实数t，4t²的最小值为0，
所以不等式④对于一切t成立等价于m²-6m+1＜0，即，
由此可知，存在正数m，对于过点M(m，0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有，
且m的取值范围是。