Question

在xoy平面上有一系列点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）…，P_n（x_n，y_n），…，（n∈N*），点P_n在函数y=x²（x≥0）的图象上，以点P_n为圆心的圆P_n与x轴都相切，且圆P_n与圆P_n+1又彼此外切．若x₁=1，且x_n+1＜x_nx₁=1．
（I）求数列{x_n}的通项公式；
（II）设圆P_n的面积为S_n，Tn=

S1

+

S2

+…+

Sn

，求证：Tn＜

3 2

2

．

Answer 1

分析：（I）由题意圆P_n与P_n+1彼此外切，利用两圆外切等价于两圆心距等于圆的半径，化简出数列{x_n}的递推关系，进而得到数列{x_n}的通项公式．
（II）由于圆P_n的面积为S_n利用圆的面积公式求出，又有题中T_n的式子特点，利用裂项相消法，求出T_n，在利用简单的去一项即可得证．

解答：解：（I）圆P_n与P_n+1彼此外切，令r_n为圆P_n的半径，
∴|P_nP_n+1|=r_n+r_n+1即

(xn-xn+1)2+(yn-yn+1)2

=yn+yn+1
两边平方并化简得（x_n-x_n+1）²=4y_ny_n+1
由题意得，圆P_n的半径r_n=y_n=x_n²，（x_n-x_n+1）²=4x_n²x_n+1²
∵x_n＞x_n+1＞0；∴x_n-x_n+1=2x_nx_n+1，即

1

xn+1

-

1

xn

=2(n∈N+)
∴数列{

1

xn

}是以

1

x1

=1为首项，以2为公差的等差数列，
所以

1

xn

=1+（n-1）×2=2n-1，即xn=

1

2n-1

（II）Sn=π

r

n 2

=π

y

n 2

=π

x

n 4

=

π

(2n-1)4

，
因为Tn=

S1

+

S2

+…+

Sn

=

x

[1+

1

32

+…+

1

(2n-1)2

]
≤

π

(1+

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-3)(2n-1)

)

=

π

{1+

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-3

-

1

2n-1

)]}=

π

[1+

1

2

(1-

1

2n-1

)]=

3 π

2

-

π

2(2n-1)

＜

3 π

2

所以，Tn＜

3 π

2

点评：此题重点考查了两元相外切的等价条件，还考查了有数列的递推关系求其通项公式，及裂项相消的求和方法，还考查了去一项进行了简单的放缩．