Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若FH的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为

2

．

Answer 1

分析：设一渐近线方程为 y=

b

a

 x，则F₂H的方程为 y-0=k（x-c），代入渐近线方程 求得H的坐标，有中点公式求得中点M的坐标，再把点M的坐标代入双曲线求得离心率．

解答：解：由题意可知，一渐近线方程为 y=

b

a

 x，则F₂H的方程为 y-0=k（x-c），
代入渐近线方程 y=

b

a

 x 可得
H的坐标为 （

a2

c

，

ab

c

 ），
故F₂H的中点M （

c+ a2 c

2

，

ab

2c

 ），
根据中点M在双曲线C上，
∴

( a2 c +c)2

4a2

-

a2b2

4 b2c2

=1，
∴

c2

a2

=2，故

c

a

=

2

，
故答案为：

2

．

点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．