Question

函数f（x）=|x-1|+|x-a|，
（1）若a=-1，解不等式f（x）≥3；
（2）如果对?x∈R时f（x）≥2都成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，f（x）=|x-1|+|x+1|，由f（x）≥3得|x-1|+|x+1|≥3，结合绝对值的几何意义即可求得其解集；
（2）先对a进行分类讨论：若a=1，则f（x）=2|x-1|不满足题设条件．若a＜1，f（x）的最小值为1-a；a＞1，f（x）的最小值a-1从而得出对于?x∈Rf（x）≥2的充要条件是|a-1|≥2，最后得到a的取值范围即可．

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=|x-1|+|x+1|，由f（x）≥3得|x-1|+|x+1|≥3，由绝对值几何意义知不等式的解集为{x|x≤-

3

2

或x≥

3

2

}，（5分）
（2）若a=1，则f（x）=2|x-1|不满足题设条件．
若a＜1，f(x)=

-2x+a+1，(x≤a) 1-a，(a＜x＜1) 2x-(a+1)，(x≥1)

，f（x）的最小值为1-a；（8分）
a＞1，f(x)=

-2x+a+1，(x≤1) -1+a，(1＜x＜a) 2x-(a+1)，(x≥a)

，f（x）的最小值a-1．（11分）
所以对于?x∈Rf（x）≥2的充要条件是|a-1|≥2，从而a的取值范围（-∞，-1]∪[3，+∞）．（12分）

点评：本小题主要考查绝对值不等式的解法、分段函数等基础知识，考查运算求解能力与分类讨论思想．属于基础题．