题目内容

19．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=$\frac{1}{3}$，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为12．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆E相切于点P，且与直线x=9相交于点Q，试探索以PQ为直径的圆是否恒过x轴上一定点？若是，请求出定点的坐标；否则，请说明理由．

分析 （1）根据过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为12，可得4a=12，即a=3，利用e=$\frac{1}{3}$，b2=a2-c2=8，即可求得椭圆E的方程；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{8{x}^{2}+9{y}^{2}=72}\end{array}\right.$，消元可得（9k2+8）x2+18kmx+9m2-72=0，利用动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0），可得m≠0，△=0，进而可得P的坐标，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{x=9}\end{array}\right.$，可得Q的坐标，取k=0，m=2$\sqrt{2}$；k=-$\frac{1}{3}$，m=3，猜想满足条件的点M存在，只能是M（1，0），再由向量垂直的条件证明即可．

解答 解：（1）过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为12．
由椭圆的定义可得AF1+AF2=BF1+BF2=2a，
即有△ABF2的周长为4a=12，可得a=3，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$，可得c=1，
即有b2=a2-c2=8，
则椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{8{x}^{2}+9{y}^{2}=72}\end{array}\right.$，消y可得（9k2+8）x2+18kmx+9m2-72=0，
由动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0），
可得m≠0，△=0，即为（18km）2-4×（9k2+8）×（9m2-72）=0，
化为9k2-m2+8=0①
此时x0=-$\frac{9km}{9{k}^{2}+8}$=-$\frac{9k}{m}$，y0=$\frac{8}{m}$，
即P（-$\frac{9k}{m}$，$\frac{8}{m}$）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{x=9}\end{array}\right.$，得Q（9，9k+m），
取k=0，m=2$\sqrt{2}$，此时P（0，2$\sqrt{2}$），Q（9，2$\sqrt{2}$），
以PQ为直径的圆为（x-$\frac{9}{2}$）2+（y-2$\sqrt{2}$）2=$\frac{81}{4}$，
交x轴于点M1（1，0）或M2（8，0）
取k=-$\frac{1}{3}$，m=3，此时P（1，$\frac{8}{3}$），Q（9，0），
以PQ为直径的圆为（x-5）2+（y-$\frac{4}{3}$）2=$\frac{160}{9}$，
交x轴于点M3（1，0）或M4（9，0），
故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下
由$\overrightarrow{MP}$=（-$\frac{9k}{m}$-1，$\frac{8}{m}$），$\overrightarrow{MQ}$=（8，9k+m），
可得$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=8（-$\frac{9k}{m}$-1）+$\frac{8}{m}$（9k+m）=0，
故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）．

点评 本题主要考查抛物线的定义与性质、圆的直径所对的圆周角为直角、直线与椭圆的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．

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