Question

定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期为2，且x∈（0，1）时，f(x)=

2x

4x+1

．
（1）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性；
（3）当λ为何值时，方程f（x）=λ在x∈[-1，1]上有实数解．

Answer 1

分析：（1）由f（x）是x∈R上的奇函数，得f（0）=0．再由最小正周期为2，得到（1）和f（-1）的值．然后求（-1，0）上的解析式，通过在（-1，0）上取变量，转化到（0，1）上，应用其解析式求解．
（2）用定义，先任取两个变量，且界定大小，再作差变形看符号．
（3）根据题意，求得f（x）在[-1，1]上的值域即可．

解答：解：（1）∵f（x）是x∈R上的奇函数，
∴f（0）=0．
又∵2为最小正周期，
∴f（1）=f（1-2）=f（-1）=-f（1）=0．
设x∈（-1，0），则-x∈（0，1），f(-x)=

2-x

4-x+1

=

2x

4x+1

=-f(x)，
∴f(x)=-

2x

4x+1

，
∴f(x)=

- 2x 4x+1 ，x∈(-1，0) 0，x∈{-1，0，1} 2x 4x+1 ，x∈(0，1).

（2）设0＜x₁＜x₂＜1，
f（x₁）-f（x₂）=

(2x1-2x2)+(2x1+2x2-2x2+2x1)

(4x1+1)(4x2+1)

=

(2x1-2x2)(1-2x1+x2)

(4x1+1)(4x2+1)

＞0，
∴f（x）在（0，1）上为减函数．

（3）∵f（x）在（0，1）上为减函数，
∴

21

41+1

＜f(x)＜

20

40+1

，
即f（x）∈（

2

5

，

1

2

）．
同理，x在（-1，0）上时，f（x）∈（-

1

2

，-

2

5

）．
又f（-1）=f（0）=f（1）=0，
∴当λ∈（-

1

2

，-

2

5

）∪（

2

5

，

1

2

）或λ=0时，f（x）=λ在[-1，1]内有实数解．

点评：本题主要考查如何利用求对称区间上的解析式，特别注意端点问题，还考查了用定义证明单调性求分段函数值域问题．