Question

（2013•杭州二模）在各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₂=2，2a₃，a₅，3a₄成等差数列，数列{b_n}满足b_n=21og₂a_n+1．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设S_n为数列{b_n}的前n项和，数列{c_n}满足cn=

Sn-4n

nan

．当c_n最大时，求n的值．

Answer 1

分析：（I）根据等比数列的通项公式，结合等差中项的定义列式，得2×2q³=2×2q+3×2q²，解之得q=2（舍负），由此算出a₁的值，即可得到数列{a_n}的通项公式；
（II）根据对数的运算法则，结合a_n=2^n-1算出b_n=2n，从而得到{b_n}构成首项为b₁=2，公差为2的等差数列，得出{b_n}的前n项和S_n=n²+n，由此化简c_n得c_n=

n-3

2n-1

．注意到n≤3时c_n≤0，可得c_n的最大值在n≥4时取到，给出

cn+1

cn

=

n-2

2(n-3)

并研究它的取值，可得当n=4时，c₄=c₅；当n≥5时，c₅＞c₆＞…＞c_n，由此即可得到当c_n最大时，求n的值为4或5．

解答：解：（I）设等比数列{a_n}的公比为q，则
∵a₂=2，且2a₃、a₅、3a₄成等差数列，可得2a₅=2a₃+3a₄，
∴2×2q³=2×2q+3×2q²，解之得q=2（舍负）
由此可得a₁=

a2

q

=1，得数列{a_n}的通项公式为a_n= a1qn-1=2n-1；
（II）∵a_n=2^n-1，∴b_n=21og₂a_n+1=21og₂2ⁿ=2n，
由b_n+1-b_n=2，得{b_n}构成首项为b₁=2，公差为2的等差数列
∴{b_n}的前n项和S_n=

n(2+2n)

2

=n²+n
因此，cn=

Sn-4n

nan

=

(n2+n)-4n

n•2n-1

=

n-3

2n-1

∵n≤3时，c_n≤0；n≥4时，c_n＞0
∴c_n的最大值在n≥4时才能取到
又∵

cn+1

cn

=

n-2 2n

n-3 2n-1

=

n-2

2(n-3)

，当n=4时，

c5

c4

=

4-2

2(4-3)

=1，
而当n≥5时，

cn+1

cn

=

n-2

2(n-3)

=

1

2

+

1

2(n-3)

≤

3

4

＜1
∴当n=4时，c₄=c₅；当n≥5时，c₅＞c₆＞c₇＞…＞c_n．
由此可得c₄=c₅为c_n的最大值，即当c_n最大时，求n的值为4或5．

点评：本题给出等比数列中2a₃、a₅、3a₄成等差数列，求数列{a_n}的通项公式并依此求数列{c_n}取最大值项时n的取值．着重考查了等差数列、等比的通项公式，等差数列的前n项公式，考查了数列单调性的探讨和最大项或最小项的求法等知识，属于中档题．