Question

【题目】如图，四边形是边长为2的菱形，且.四边形是平行四边形，且.点，在平面内的射影为，，且在上，四棱锥的体积为2.

（1）求证：平面平面；

（2）在上是否存在点，使平面？如果存在，是确定点的位置，如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）是靠近点的四等分点，理由见解析

【解析】

（1）先由线面垂直的判定定理，证明平面，再由面面垂直的判定定理，即可证明结论成立；

（2）先由四棱锥的体积求出，得出，即点是靠近点的四等分点，延长交于点，在梯形内，过作的平行线交于，则点即为所求，再由，即可确定点的位置.

（1）点在平面内的射影为，

平面，平面，

，且平面，平面，

又四边形是平行四边形，

平面，平面平面，，

四边形是菱形，，，且，

平面，又平面，平面平面.

（2）假设在上是存在点，使平面，

四棱锥的体积为2，即，

，又，，即点是靠近点的四等分点.

延长交于点，在梯形内，过作的平行线交于，

则点即为所求.

，即点是靠近点的四等分点.