Question

设p：f（x）=x³+2x²+mx+1在（-∞，+∞）内单调递增；q：已知h（x）=x²，g(x)=(

1

2

)x-m，若对任意x₁∈[-1，3]，总存在x₂∈[0，2]，使得h（x₁）≥g（x₂）成立，则p是q成立的

充分不必要

条件．

Answer 1

分析：对于命题p，根据导数与函数单调性的关系，求出m的范围，命题q，利用转化的思想将问题转化为h（x）min≥g（x）min，从而求出m的范围，再根据充分必要条件的定义进行求解；

解答：解：p：?x∈R，f′（x）=3x²+4x+m≥0，⇒△=16-12m≤0，⇒m≥

4

3

；
q：h（x）=x²，g(x)=(

1

2

)x-m，若对任意x₁∈[-1，3]，总存在x₂∈[0，2]，使得h（x₁）≥g（x₂）成
∴h（x）min≥g（x）min⇒0≥

1

4

-m⇒m≥

1

4

故p⇒q反之不成立，
∴p是q的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要；

点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调性以及函数的恒成立问题，其中用到了转化的思想，是一道中档题；