Question

已知函数f（x）=x²+bx，若直线y=bx+1与直线x-y+2=0平行，则数列{

1

f(n)

}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₀的值为

 

．

Answer 1

分析：根据两条直线平行可得b=1，所以函数f（x）=x²+x，进而得到

1

f(n)

=

1

n(n+1)

，然后利用裂项相消的方法求和，进而得到答案．

解答：解：因为直线y=bx+1与直线x-y+2=0平行，
所以b=1，
所以函数f（x）=x²+x，
所以

1

f(n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
所以S_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
所以S₂₀₁₀的值为

2010

2011

，
故答案为

2010

2011

．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握数列求和的方法，如裂项相消、分组求和、倒序相加与错位相减，这是高考的一个热点．