Question

给出定义：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x-{x}|的四个命题：
①函数y=f（x）的定义域为R，值域为[0，

1

2

]；
②函数y=f（x）的图象关于直线x=

k

2

（k∈Z）对称；
③函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；
④函数y=f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上是增函数．
其中正确的命题的序号是（　　）

A．①

B．②③

C．①②③

D．①④

Answer 1

①中，令x=m+a，a∈（-

1

2

，

1

2

]
∴f（x）=|x-{x}|=|a|∈[0，

1

2

]
所以①正确；
②中∵f（k-x）=|（k-x）-{k-x}|=|（-x）-{-x}|=f（-x）
所以关于x=

k

2

对称，故②正确；
③中，∵f（x+1）=|（x+1）-{x+1}|=|x-{x}|=f（x）
所以周期为1，故③正确；
④中，x=-

1

2

时，m=-1，
f（-

1

2

）=

1

2

x=

1

2

时，m=0，
f（

1

2

）=

1

2

所以f（-

1

2

）=f（

1

2

）
所以④错误．
故选C