Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c满足f（x+1）-f（x）=2x-1，且f（0）=-1
（1）求a，b，c的值；
（2）若y=f（x）-mx在区间[-1，2]上是单调函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用条件f（x+1）-f（x）=2x-1，且f（0）=-1，建立方程即可求解a，b，c．
（2）根据二次函数的单调性和对称轴之间的关系，即可求出m的取值范围．

解答：解；（1）∵二次函数f（x）=ax²+bx+c满足f（0）=-1
∴f（0）=c=-1，即c=-1，
∴f（x）=ax²+bx-1，
∵f（x+1）-f（x）=2x-1，
∴a（x+1）²+b（x+1）-ax²-bx=2x-1，
即2ax+a+b=2x-1，
∴2a=2且a+b=-1，
解得a=1，b=-2，
∴a=1，b=-2，c=-1．
（2）∵a=1，b=-2，c=-1．
∴f（x）=x²-2x-1，
即y=f（x）-mx=x²-（2+m）x-1，
抛物线的对称轴x=-

-(2+m)

2

=

2+m

2

，
若y=f（x）-mx在区间[-1，2]上是单调函数，
则

2+m

2

≤-1或

2+m

2

≥2，
即2+m≤-2或2+m≥4，
解得m≤-4或m≥2．

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，利用二次函数对称轴和单调性之间的关系是解决本题的关键，要求熟练掌握二次函数的图象和性质的应用．