题目内容

先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：
已知a1，a2∈R，a1+a2=1，求证a12+a22，
证明：构造函数f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2=2x2-2x+a12+a22
因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4-8（a12+a22）≤0，从而得a12+a22，
（1）若a1，a2，…，an∈R，a1+a2+…+an=1，请写出上述结论的推广式；
（2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明．
【答案】分析：（1）由已知中已知a1，a2∈R，a1+a2=1，求证a12+a22，及
整个式子的证明过程，我们根据归纳推理可以得到一个一般性的公式，若a1，a2，…，an∈R，a1+a2+…+an=1，则a12+a22+…+an2≥．（2）但此公式是由归纳推理得到的，其正确性还没有得到验证，观察已知中的证明过程，我们可以类比对此公式进行证明．
解答：解：（1）若a1，a2，…，an∈R，a1+a2+…+an=1，
求证：a12+a22+…+an2≥
（2）证明：构造函数
f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2+…+（x-an）2
=nx2-2（a1+a2+…+an）x+a12+a22+…+an2
=nx2-2x+a12+a22+…+an2
因为对一切x∈R，都有f（x）≥0，所以△=4-4n（a12+a22+…+an2）≤0
从而证得：a12+a22+…+an2≥
点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．（3）对归纳得到的一般性结论进行证明．
练习册系列答案
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先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：
已知a1，a2∈R，a1+a2=1，求证a12+a22≥
1
2
，
证明：构造函数f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2=2x2-2x+a12+a22
因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4-8（a12+a22）≤0，从而得a12+a22≥
1
2
，
（1）若a1，a2，…，an∈R，a1+a2+…+an=1，请写出上述结论的推广式；
（2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明．
先阅读下列不等式的证法：
已知a1，a2∈R，a12+a22=1，求证：|a1+a2|≤
2
．
证明：构造函数f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2，则f（x）=2x2-2（a1+a2）x+1，因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4（a1+a2）2-8≤0，故得|a1+a2|≤
2
．
再解决下列问题：
（1）若a1，a2，a3∈R，a12+a22+a32=1，求证|a1+a2+a3|≤
3
；
（2）试将上述命题推广到n个实数，并证明你的结论．

先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知，，求证．

   证明：构造函数，

因为对一切，恒有≥0，所以≤0，从而得，

   （1）若，，请写出上述结论的推广式；

   （2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明．

（本小题15分）

先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题:已知且，求证

 证明：构造函数因为对一切,恒有，所以4-8，从而

(1)若,且，请写出上述结论的推广式；

(2)参考上述证法，对你的结论加以证明；

(3)若，求证.[

 

 先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知，，求证．

   证明：构造函数，

因为对一切，恒有≥0，所以≤0，从而得，

   （1）若，，请写出上述结论的推广式；

   （2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明．

 

 

 

 

 

 

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